立体のくしざし

立体のくしざし

例題1

下の図の立体は、1辺の長さが1cmの小立方体を72個組み合わせて作った直方体です。

点Aと点Bを結ぶ直線ABが貫いている小立方体は何個ありますか。

ただし、直線ABが頂点のみを通っている場合や辺のみを通っている場合には、直線ABが小立方体を貫いているとは考えません。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし0310

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

まず、頂点の通過がないことを確認しておきましょう。
この問題では、
「たて4、横6、高さ3」
最大公約数が1なので、頂点の通過はありません。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

引き続き「辺の通過」について学習しよう。
この問題では、
「たて4、横6、高さ3」の3つ。
つまり、
(4、6)
(4、3)
(6、3)
の3組について、最大公約数が1以外にあるかないかを調べます。

(4、6)の組の最大公約数が2
(6、3)の組の最大公約数が3

ここで辺の通過が起こるわけだ。
どのように辺の通過が起こるか、次の図で理解しましょう。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし0320
吹き出し用カンガルー先生イラスト

(4、6)の組の最大公約数が2

このことから、次の図のように辺を通過していることがわかります。
最大公約数2から1を引いて、2−1=1
1か所の辺を通過がおこります。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし0332
吹き出し用カンガルー先生イラスト

(6、3)の組の最大公約数が3

このことから、次の図のように辺を通過していることがわかります。
最大公約数3から1を引いて、3−1=2
2か所の辺を通過がおこります。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし0330
吹き出し用まなぶくんイラスト

なるほど。
1以外の最大公約数があれば、タイル切りのときのように分割して、途中の点の所の奥で辺の通過が起こっているわけですね。

今回は、2+1=3
3か所で辺の通過が起こっている。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りです。

今後自分で解くときに、このような内部の精密な図をかく必要はありませんからね。

きちんと理解してくれれば、計算だけで答えを求めてしまいましょう。

吹き出し用まなぶくんイラスト

(最大公約数−1)が辺の通過回数ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りです。
でも、それは公式として覚えるというよりも、先のように簡単な図で確認して欲しいですね。
何度も図で確認しているうちに、自然と覚えてしまうというのが理想ですね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

はい。

もしも面の通過だけなら、
4+3+6-2=11
11個の小立方体をくしざしにします。

しかし、今回は3か所で辺の通過が起こっているので、
11-3=8

求まりました。直線ABが貫く小立方体は8個です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい。
正解です。