立体のくしざし

立体のくしざし

例題1

下の図の立体は、1辺の長さが1cmの小立方体を24個組み合わせて作った直方体です。

点Aと点Bを結ぶ直線ABが貫いている小立方体は何個ありますか。

ただし、直線ABが頂点のみを通っている場合や辺のみを通っている場合には、直線ABが小立方体を貫いているとは考えません。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし0210

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

たてが4
高さが2
4と2の最大公約数は2です。
今までと違います!

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はい、そのとおり。
直線ABが「面以外のものを通過するタイプ」なんですよ。

覚えているかな?
「辺」や「頂点」を通過するようなタイプも出てくるよって話をしたこと。

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はい、覚えてますよ。

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結論を先に教えます。
今回は、直線ABが辺を通過します。
くわしく見ていきましょう。
次の図のように、内部を通過する対角線ABを3方向から見ます。
表面上の3本の対角線です。

中学受験算数カンガループリント 図

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この3本の対角線において、頂点を通過しているところを探します
今回は、右の面の1か所ですね。

中学受験算数カンガループリント 図

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たてが4、高さが2、
4と2の最大公約数が2。
だから、2−1=1
1か所の頂点通過ですね。

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このように表面で頂点の通過がおこるとき。
この点の奥で、辺の通過がおこっています。
辺を通過したときの点をPとします。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし2202
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辺の通過ですか・・・内部がどうなっているかよくわからないですが・・・

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はじめてですし、くわしく見ておきましょうね。
点Pは、高さ2を2つに分けた赤い面上にあります。次の図です。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし211
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また、点Pは、たて4を2つに分けたピンクの面上にあります。次の図です。

中学受験算数カンガループリント 図

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つまり、点Pは、2つの面が交差する線上にあります。2つの面が交差する線上には、小立方体の辺があります。
よって、点Pは、小立方体の辺上にあります。

中学受験算数カンガループリント 図

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なるほど・・・

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内部も見ておきましょうか。
上段の手前6個の小立方体を取り除くと次の図のようになっています。
直線ABが、辺を通過していることが見て取れます。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし2302
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ちなみに・・・
点Pは対角線ABの真ん中の点なので、もちろん左右方向のまん中にあります。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし240
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ここまでの話で、どんなときに、どのように「辺の通過」が起こるか、
わかりましたか?

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えっと・・・
1以外の公約数があるとき・・・

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まだ正確にはわかっていないようだね。

「たて、横、高さ」の3つのうち、2つの組を作るんだ。
つまり、
(たて、横)
(たて、高さ)
(横、高さ)
の3組ができる。
この組で、1以外の最大公約数があるかどうかを調べるんだよ。

1以外の公約数Nがあれば、(N−1)回の「辺の通過」が起こるんだ。

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えっと、わかった気がします。

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この問題では、
「たて4、横3、高さ2」の3つ。
つまり、次の3組。
(たて、横)=(4、3)・・・最大公約数は1
(たて、高さ)=(4、2)・・・最大公約数は2
(横、高さ)=(3、2)・・・最大公約数は1

(4、2)の最大公約数が2だね。ここで辺の通過が、1回起こるわけだ。
他の組では辺の通過は起こりません。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし2202
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なるほど・・・
なんとなくわかったような気がします。

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どのようなときに頂点を通過するのかもなんとなく想像がつきませんか?
(たて、横、高さ)に1以外の最大公約数があるときです。
くわしくは、また改めてにしておきましょう。

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はい。
なんとなくそんな気はしますよ。

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くわしくは、また改めてにしておきましょう。

H3

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さて、「辺の通過」と、貫く小立方体の数はどのような関係があるのか。

次はこれについて説明するよ。

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面を通過していく場合、次の図のように3個の小立方体を通過します。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし2602
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辺を通過する場合、次の図のように2個の小立方体を通過します。
面だけを通過する場合よりも、1個減るのです。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし2702
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近道してますね。

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つまり、
「面だけ通過ならば」のくしざしとなる小立方体の個数を計算で求めます。
その後、通過した辺の数だけ引きます。

これで最終的な答えが求まります。

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つまり、
「面だけ通過ならば」のくしざしとなる小立方体の個数は、
4+2+3-2=7

7個。

でも、実は途中で辺を1回通過していて、1個近道で通過していない。
7-1=6

求まりました。
直線ABが通過する小立方体は6個です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、それで正解です。

類題をたくさん練習して、この解法をマスターしましょう!