aaタイル切り・その8a

正三角タイル(平行四辺形) 洛星

タイル切り

正三角タイル

例題1

正三角形のタイルをすきまなく並べて平行四辺形をつくり、2本の対角線のうち長い方の線で切断します。下の図は5列3段に並べたときで、切断された正三角形のタイルの枚数は14枚です。

中学受験算数カンガープリント タイル切り7771

(1)9列7段に並べたとき、切断された正三角形のタイルの枚数は何枚ですか。
(2)20列12段に並べたとき、切断された正三角形のタイルの枚数は何枚ですか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

9列7段くらいなら、図示して解けるかなあ。
でもかなり面倒だ・・・
今回も計算だけで求まるんですよね?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

いろいろ考えて、解き方を発見していくのが算数・数学の醍醐味なんだ。
図示なしで解く方法を、いっしょに身につけていきましょう。

まず、問題中の例、「5列3段のときは、正三角形タイル14枚を切断」
これを考察していくよ。
下図をみてください。
平行四辺形タイルで5列3段をつくって、対角線で切断したものだ。
※厳密にはひし形タイルです。

中学受験算数カンガープリント タイル切り7772
吹き出し用まなぶくんイラスト

どちらも、7枚のタイルを通過していますね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

その通りです。

平行四辺形のタイル、
正方形のタイル、
どちらであっても、対角線が通過する個数は同じです。
斜めにゆがんだだけなんだ。

そして、本来の問題は、正三角形のタイルを並べたものだった。

中学受験算数カンガープリント タイル切り7773
吹き出し用まなぶくんイラスト

平行四辺形のタイルなら7枚を切る。
そして、正三角形のタイルなら、その2倍になるんですね。

7×2=14
これが、14を計算で求める方法ですね!
わかりました。

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その通りです。

上図において、対角線は必ず青い線を通過する。
だから、すべての平行四辺形のタイルにおいて、絶対に正三角形2つ分を通過するんだ。
だから、絶対に2倍になります。

では、問題を解いていこう!

(1)9列7段
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まずは、正方形のタイルを9×7に並べたときで考えます。

9と7の公約数は1のみだから、
9+7-1=15
対角線が切るタイルは15枚。

で、タイルが平行四辺形でも同じ。

それが、正三角形タイルになると2倍になる。

15×2=30

求まりました。
30枚です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

正解です。
きちんと理解していれば、図示しないで計算だけで求まりますね!

(2)20列12段
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解き方は今までと同じですね。
これは、公約数があるバージョンです。

20と12の最大公約数は、4
20÷4=5
12÷4=3
だから、5列3段の小平行四辺形を、4回通過します!

中学受験算数カンガープリント タイル切り7774
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その通りです。

算数は組み合せだよね。
習ったことを、組み合わせて解いていくんだ。

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5列3段の小平行四辺形では、14枚の正三角形タイルを通過します。

これは、問題で与えられています!

14×4=56
求まりました。56枚が切断されます。

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正解です!