aaタイル切り・その6

タイル切り

2つの対角線

例題1

1辺の長さが1cmの正方形のタイルを並べて長方形ABCDをつくります。
これを対角線ACと対角線BDで切ったときに切られる1辺が1cmの正方形のタイルの数を考えます。
AB=5cm、AD=3cmのとき、切られる1辺が1cmの正方形のタイルの数は下図のように11個です。

中学受験算数カンガープリント タイル切り5102

AB=7cm、AD=12cmのとき、切られる1辺が1cmの正方形のタイルの数は何個ですか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

2つの対角線を引くのははじめてですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうだね。まずは3×5のときの図を見て、考えてみましょう。

中学受験算数カンガープリント タイル切り5100
吹き出し用カンガルー先生イラスト

図のとおり、切られるタイルの数は11個ですね。
1本の対角線が切る正方形は7個
2本の対角線が切る正方形は11個

これを図示せずに、計算で求められるようになりましょう。
なんで、7+7=14にならないのかわかる?

吹き出し用まなぶくんイラスト

重複して数えているからですね。
3個の正方形を重複しています。
だから、7×2-3=11(個)

中学受験算数カンガープリント タイル切り5200
吹き出し用カンガルー先生イラスト

その通り。
7+7=14
だと、2回数えている正方形があるからね。
ということで、この問題のポイントは、2本の対角線のどちらも通過する正方形が何個あるのか。これなのです。
常に3個の重複が起きるわけではありませんからね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

では、重複の個数を出す公式があるのですか?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そんなものはないです。
そのときそのときで図示をして求めるのです。
では本題だ。
7×12
で2本の対角線をひく。
何個のタイルを通過するのか。

吹き出し用まなぶくんイラスト

7×12のマス目をかくのは・・・嫌です・・・

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うん、かかなくていいよ。
2本の対角線の重複部分だけを図示すればいいのです。
まずは対角線の交点がどのようになっているのか。
図示できるかな?

吹き出し用まなぶくんイラスト

えっと・・・わかんないですよ。

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2本の対角線の交点は、たて方向でもよこ方向でも真ん中なのはわかりますね?
たて7の真ん中は、3.5
よこ12の真ん中は6

中学受験算数カンガープリント タイル切り5250
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たて7の真ん中は、3.5だから正方形の中央。
よこ12の真ん中は6だから、正方形の辺

つまり、対角線の交点あたりを拡大すると、次の図のようになっています。

中学受験算数カンガープリント タイル切り5302
吹き出し用まなぶくんイラスト

あ、なるほど。そうですね。

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で、対角線はどのような傾きの直線なのかを考えます。
直角をはさんで7:12の直角三角形です。
正方形のタイルの1辺の長さを14とすると、次の図のようなります。

対角線の交点部分のアップの図です。

中学受験算数カンガープリント タイル切り5402
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もう少しだけ引いて見た図はこちら。
クリーム色の2個のタイルが、重複のタイルです。

中学受験算数カンガープリント タイル切り5452
吹き出し用まなぶくんイラスト

なるほど。2個ですね。
2本の対角線が通過する小正方形は2個です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

理解してくれたかな。

1本の対角線が通過する個数は、
7+12-1=18
2本の対角線が通過する個数は、重複の2個を引いて、
18+18ー2=34

答えは34個です。