ままこ立て

ままこ立て

例題1

1から150までの数が1つずつかかれた石が150個あります。150個の石を下図のように、1から順に時計回りに円形に並べました(6から148の石は省略してあります)。
そして、以下のような作業をします。
1の石を残し、2の石をとりのぞき、3の石を残し・・・と1つおきに石をとりのぞいていきます。
最後に残る1個に書かれた数を求めなさい。

中学受験算数カンガープリント ままこ立て4602

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

1つ前の問題の数値変えですね。

今回は、「残す」からスタートしています。

マジックナンバーで、「残すからスタートするままこ立て」は
必ず「はじめ」が残る。

さっき習ったやつです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りですね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

150に近いマジックナンバーは、
2×2×2×2×2×2×2=128

150-128=22
つまり、22個捨てたときに、残りが128個になります。

2、4、6、・・・と2の倍数を捨てているから、
22個目に捨てられるのは、44

中学受験算数カンガープリント ままこ立て4622
吹き出し用まなぶくんイラスト

次は、「45を残すからスタート」するから、
はじめの45が残ります。
答えは45です。

中学受験算数カンガープリント ままこ立て4642
吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

ところで別解です。
44を捨てて、残りがマジックナンバーの128

次に、45を残す。

そして、次に46を捨てる。
この「46を捨てる」を再スタートだと思えば・・・?

中学受験算数カンガープリント ままこ立て4662
吹き出し用まなぶくんイラスト

あ!
この場合は、「捨てるからスタートするままこだて」だ。
このときは、「最後が残る」

46を捨てるがスタート地点なら、最後は45だ。
45が残ります。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうだね。
「捨てるからスタートするままこ立て」は必ず「最後」が残る。
「残すからスタートするままこ立て」は必ず「はじめ」が残る。
どちらでも好きな方で解けましたね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

へえ・・・ということは、
どちらか片方だけ覚えておけば良いのかな。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

まあ、そうだね。
でもね、
マジックナンバーで出題されたときは、両方知らないとちょっとだけ面倒になることもある。

1つ前の例題だ。

例題・再掲

1から16までの数が1つずつかかれた石が16個あります。
16個の石を下図のように、1から順に時計回りに円形に並べました。
そして、以下のような作業をします。
1の石を残し、2の石をとりのぞき、3の石を残し・・・と1つおきに石を取り除いていきます。
最後に残る1個に書かれた数を求めなさい。

中学受験算数カンガープリント ままこ立て4502

吹き出し用カンガルー先生イラスト

これは、
「残すからスタートするままこ立て」は必ず「はじめ」が残る。
を使えば一発で答えがでるけれど、
「捨てるからスタートするままこ立て」は必ず「最後」が残る。
を使うなら、まず8個捨てて・・・と手順をふんでいく必要がある。

それに、どちらか片方だけ覚えておけば、もう1つは「逆」なんだから、覚えるのは簡単だよね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

まあ、そうですね。

参考

吹き出し用カンガルー先生イラスト

ままこ立ては、はじめの枚数で、最後に何が残るかが決まっています。
それを表にしたものが下です。

中学受験算数カンガープリント ままこ立て1127
吹き出し用カンガルー先生イラスト

はじめの枚数が、「2×2×・・・×2」のときを境目にして、きれいな規則が見てとれます。

公式にすることも可能です。

捨てるからスタートするまま子立てでは、

・はじめがN枚なら
(N-N未満の最大の2×2×・・・×2)×2
が最後に残ります。

残すからスタートするまま子立てでは
・はじめがN枚なら
(N-N以下の最大の2×2×・・・×2)×2+1
が最後に残ります。

公式の暗記はまったく必要ありません。
いままで教えてきたことを理解し、覚えることの方がはるかに有効です。