- 例題5-1
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７✕ア−４✕イ＝70
を満たす整数ア、イの組のうち、アが小さいものから順に３組答えなさい。
- 解説
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足し算ではなくて引き算のパターンですね。
そうです。
今までの不定方程式とかなり似ているけど、少しだけ違う。
とにかく問いてみましょうか。７✕ア−４✕イ＝70
を満たす整数は、
７✕10−４✕0＝70
がすぐに見つかります。今までと同じようにずらしていけば、他の答えの組が見つかります。
７✕ア−４✕イ＝70
アの方は４ずつずらす。
イの方は７ずつずらす。
７✕10−４✕0＝70
７✕６−４✕７＝70
７✕２−４✕14＝70あれ？何かおかしい気がする・・・？
７✕６−４✕７＝70
はおかしいよね。
正しくは、
７✕６−４✕７＝14です。
続いて、
７✕２−４✕14＝70
も、もちろんおかしい。
14から56は引けませんからね。今までの不定方程式と少しだけ違う、か。
なるほど。
このずらすところが違うんですね。そうだね。
正しくは、
７✕ア−４✕イ＝70
において、
アの方は４ずつ増やす。
イの方は７ずつ増やす。
７✕10−４✕0＝70
７✕14−４✕７＝70
７✕18−４✕14＝70
７✕22−４✕21＝70
７✕26−４✕28＝70
このように続いていく。
アとイの整数の組は無限にあります。ちなみに答えは、
（ア、イ）＝（10、0）、（14、7）、（18、14）
ですね。なるほど。
７✕アの方で増えた分、４✕イの方も増やさないといけませんね。今までの足し算の不定方程式は、片方を増やしたら、もう片方は減らしていた。
今回の引き算の不定方程式は、片方を増やしたら、もう片方も増やす。そうですね。
それが成立しますね。
呪文のように覚えるのではなくて、そのときそのとき、足すべきなのか、引くべきなのかを判断することが大切だよ。そうですね。
計算があうかどうかすぐに確かめもできますからね。７✕10−４✕0＝70
からどうずらすべきか・・・
７✕６−４✕７＝70
は明らかに計算があわない。７✕14−４✕７＝70
は正しい。サッと確かめながら解いていきますね。
そういうことです。
「引き算のときは特に注意」くらいは頭のかたすみに置いておくとよいかな。
- 例題5-2
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３✕ア−７✕イ＝85
を満たす整数ア、イの組のうち、アが小さいものから順に３組答えなさい。
- 解説
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引き算の不定方程式ですね。
２回目ですし、自力で解いてみます！３✕ア−７✕イ＝85
を満たす整数・・・
85は３でも７でも割りきれない・・・では３で割ったあまりに着目しよう！
足し算の不定方程式のときに学んだことをよく覚えていますね！
３✕ア−７✕イ＝85
85は３で割ったあまりが１なので、
85は（３の倍数＋１）つまり、
（３の倍数）−７✕イ＝（３の倍数＋１）
だから、
７✕イは（３の倍数＋１）になる・・・おっと！ここでまちがえちゃったな。
７✕イは（３の倍数＋１）にならないよ。
７✕イは（３の倍数＋２）が正しい。つまり、
（３の倍数）−（３の倍数＋２）＝（３の倍数＋１）
ということですね。うーん、確かにそうなるか。
実例で確かめると、
９−５（３＋２）＝４（３＋１）
27−17（15＋２）＝10（９＋１）
・・・そうなっていますね。引く（−）のある式の処理は、かなり注意が必要だってことを経験したね。
覚えておこうね。
中学生になると、「マイナスの数」をもっとしっかり学んでいくことになるんだけど、小学生にとっては、引く（−）のある式の処理はなかなか難しい。でも中学生にとっても難しいかも・・・？そこで、「引く（−）のある式」から「引く（−）」を無くしてしまう方法を教えておくね。
そんなことできるんですか・・・？
話題の式は、
３✕ア−７✕イ＝85等号（＝）の左にも右にも、（７✕イ）を足せばよいんだ。
等式の変形についての学習は大丈夫だよね？３✕ア−７✕イ＋（７✕イ）＝85＋（７✕イ）
等号（＝）の左を整理しよう。３✕アだけが残るから、
３✕ア＝85＋（７✕イ）
と変形できる。この式で、３で割ったときのあまりを考えてみよう。
確かに、「引く（−）」がなくなりました！
３✕ア＝85＋（７✕イ）
は
（３の倍数）＝（３の倍数＋１）＋（７✕イ）
なので、
（７✕イ）＝（３の倍数＋２）
です。すっきりわかります！！
「引く（−）」がないと迷わないです！
それは良かった！
慣れてくれば、「引く（−）」のある式のまま処理したってかまわない。
とにかく正しい計算処理ができるようになればOKだよ。
では問題を最後まで解きましょう！はい。
３✕ア＝85＋（７✕イ）
で、
（７✕イ）＝（３の倍数＋２）
までわかったので、これを満たすイを探します。
７＝（３の倍数＋１）
14＝（３の倍数＋２）
あっさり見つかりました。14＝７✕２です。つまり、
３✕ア＝85＋（７✕２）
これを満たすアは、33
３✕33＝85＋（７✕２）
より（ア、イ）＝（33、２）が見つかりました。あってますよ。
残りの組を見つけましょう。小さい順に３つでしたね。はい。
３✕ア＝85＋（７✕イ）
これを満たすアとイを探します。
３✕33＝85＋（７✕２）・・・（ア、イ）＝（33、２）
から、アの方は７ずつ、イの方は３ずつずらしていく。
今回はどちらも増やします。
３✕40＝85＋（７✕５）・・・（ア、イ）＝（40、５）
３✕47＝85＋（７✕８）・・・（ア、イ）＝（47、８）答えは、
（ア、イ）＝（33、2）、（40、5）、（47、8）
です。大正解です。
今回も無限に整数ア、イの組が見つかりますが、小さい順に３つ答える問題でした。